123profs: Savoir utiliser le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès est une propriété qui permet de calculer des longueurs dans certaines figures géométriques. Le Théorème de Thalès sert à calculer des longueurs dans un triangle, à condition d’avoir deux droites parallèles. Il permet également de montrer que deux droites ne sont pas parallèles.

En gros, si dans un triangle deux points appartiennent à deux côtés différents, et que la droite passant par ces côtés est parallèles au troisième côté, alors il y a certaines égalités, et par rapport à ces égalités, et grâce au produit en croix, on a la longueur du côté que l’on recherche.

Mais avant qui est Thalès ? Thalès est un mathématicien grec qui aurait vécu au VI eme siècle avant Jésus Christ. Nous ne le connaissons qu’à travers les écrits de Sophocle, de Pappus et d’autres. C’est l’un des Sept sages de la Grèce antique et le fondateur présumé de l’école milésienne. Philosophe de la nature, il passe pour avoir effectué un séjour en Égypte, où il aurait été initié aux sciences égyptienne et babylonienne.

On lui attribue de nombreux exploits arithmétiques, comme le calcul de la hauteur de la grande pyramide ou la prédiction d’une éclipse, ainsi que le théorème de Thalès. Il fut l’auteur de nombreuses recherches mathématiques, notamment en géométrie.

Personnage légendaire, qui semble n’avoir rien écrit, sa méthode d’analyse du réel en fait l’une des figures majeures du raisonnement scientifique. Il a su s’écarter des discours explicatifs délivrés par la mythologie pour privilégier une approche naturaliste caractérisée par l’observation et la démonstration.

On peut en fait seulement lui attribuer les quatre résultats mathématiques suivants :

Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.
Les angles à la base d’un triangle isocèle sont de la même mesure.
Le diamètre d’un cercle coupe ce même cercle en deux parties de même aire.
Si un triangle est inscrit dans un cercle tel que l’un de ses côtés soit le diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle.

Quand l’utiliser le théorème de Thalès ?

Type de figure

L’utilisation du théorème de Thalès nécessite la présence de deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes.

Vous avez compris le théorème de Thalès ? Vous devez maintenant connaître sa réciproque : que dit la réciproque du Théorème de Thalès ?

La réciproque du théorème de Thalès

On a toujours le même cas de figure que pour le théorème :

2 droites sécantes en un même point.

2 points alignés sur chacune des 2 droites.

Et 2 droites parallèles.

La différence fondamentale avec le théorème : dans un énoncé d’exercice, on ne me dira pas que les droites qui joignent les points deux à deux sont parallèles, mais on me le demandera. Pourquoi ? Parce que la réciproque du théorème de Thalès dit que :

$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AE}{AF}$

C’est à dire : s’il y a égalité de rapport entre la plus petite mesure sur la plus grande pour chacun des deux segments des 2 droites sécantes, alors les 2 droites qui relient les 4 points respectivement 2 à 2 sont parallèles – Ici $(BE)$ et $(CF)$ .

Et voilà ! C’est tout également pour la réciproque du théorème de Thalès : un réflexe à adopter : chaque fois qu’on vous présente une figure en situation de Thalès, qu’on vous donne les mesures des segments et qu’on vous demande de montrer que 2 droites sont parallèles, vous devez à tous les coups vous servir de la réciproque du théorème de Thalès.

Carte mentale Théorème de Thalès

Pourquoi ? Lorsque des droites sont parallèlesk on obtient deux triangles proportionnels
Pour quoi faire ? Pour calculer une longueur inconnue
Comment faire ? On repère les droites parallèles ainsi que « le point de départ » ( $R$ pour la première figure et $A$ pour la seconde », ensuite on remplace par les valeurs connues et enfin utilise le produit en croix

Réponses :

– Figure 1 :

$\dfrac{RS}{RT} = \dfrac{RU}{RV} = \dfrac{SU}{TV}$

On remplace par les valeurs connues et on obtient :

$\dfrac{RS}{3} = \dfrac{2{,}5}{RT}= \dfrac{4}{5}$

Pour trouver $RS$ on utilise le produit en croix en prenant la première et la dernière fraction ce qui donne:

$RS = \dfrac{3 \times 4 }{5}= 2{,}4$ cm (ici le coefficient de réduction est de $\dfrac{4}{5}$ )

– Figure 2 :

$\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$

On remplace par les valeurs connues et on obtient :

$\dfrac{0,6}{1,8} = \dfrac{AN}{AB}= \dfrac{MN}{2{,}1}$

Pour trouver $MN$ on utilise le produit en croix en prenant la première et la dernière fraction ce qui donne:

$MN = \dfrac{2{,}1 \times 0{,}6 }{ 1{,}8} = 0{,}7$ cm (Ici le coefficient de réduction est de $\dfrac{1}{3}$ )

Ça a l’air de rien comme ça, mais mine de rien, les savants égyptiens de l’époque se cassaient les dents sur ce problème. Jusqu’à ce que Thalès passe par là.

Thalès va avoir l’idée géniale suivante. Il va dire, je vais planter un bâton verticalement dans le sol, je vais mesurer la longueur de l’ombre du bâton et la longueur de l’ombre de la pyramide et si jamais ne je constate par exemple que l’ombre de la pyramide est, cent fois, plus grande que l’ombre de mon bâton et bien ça veut tout simplement dire que la pyramide est, cent fois, plus haute que mon bâton et comme je sais mesurer la hauteur de mon bâton, je sais mesurer la hauteur de la pyramide.

II a utilisé le fait que le triangle formé par le bâton et l’ombre du bâton est semblable au triangle formé par la hauteur de la pyramide et l’ombre de la pyramide.

En bref, une méthode simple efficace et élégante tout ce qu’on aime en mathématique. C’est Thalès.

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Tuesday 22 August 2017

Savoir utiliser le théorème de Thalès